辛几何,13245904.pdf

度量空间为什么含于拓扑空间呢？

　一、相关定义 　　拓扑空间的定义如下： 　　定义1. 设X是一非空集合，X的一个子集族称为X的一个拓扑，如果它满足： 　　（1）都包含在中 　　（2）中任意多个成员的并集仍在中 　　（3）中有限多个成员的交集仍在中 　　度量空间的定义如下： 　　定义2. 集合X上的一个度量是一个映射：,它满足 　　（1）正定性. , ,, 当 　　（2）对称性. , 　　（3）三角不等式. , 　　当集合X上规定了一个度量后，称为度量空间。

从相关定义中看出，若将度量空间中的开子集取作球形邻域，则拓扑空间是度量空间的推广。常见的度量空间有下面的一些例子: 　　例1：欧氏空间赋予距离拓扑后为度量空间。 　　例2：空间X赋予如下度量：，则X为度量空间。 　　例3：对实数上的闭区间上连续函数空间，我们可以赋予如下最大模范数诱导的度量，即任意两个连续函数的的距离为这两函数差的最大模，同样对于可导函数，光滑函数都有类似的定义。

　　例4：在辛几何中，在哈密顿微分同胚群中Hofer曾定义了如下度量： 　　从其诱导的范数称为Hofer范数，该范数是研究辛拓扑、辛嵌入的强有力武器。 　　二、相关性质 　　度量空间中许多性质都发源于欧氏空间，它们满足、、、分离公理与、可数公理，但有许多性质到拓扑空间就不再保持。例如可分性就不再保持。

　　命题1：可分度量空间的子空间也是可分的。 　　证明:不妨假设X是可分的度量空间，A是X的子空间，B为X的可数稠密子集。下面证明为A的可数稠密子集。 　　首先证明为A的可数子集。因为B为可数子集，可数集的子集仍为可数集，所以为A的可数子集。 　　其次证明为A的稠密子集，此时需要在子空间拓扑下讨论，即需证明A中任何开集与的交不空，由子空间拓扑定义，A中开集u为X中开集P与A的交，即.又因为B为X的稠密子集，即X的任何开集与B的交非空。

所以，从而得证。 　　但可分拓扑空间的子空间一般是不可分的，例子参见[1]。 　　仍有许多例子在度量空间中部成立，但在拓扑空间中是成立的。比如在拓扑空间X中，序列，一般推不出，但在可余拓扑空间中，我们有如下命题： 　　命题2：在实数空间R中赋予如下的余可数拓扑，，若有序列，则当n充分大时。 　　证明：在上，序列意味着对X 的任意邻域u，当n充分大时，都在u中，而中的开集为可数集的余集。

故我们取U=，此U为包含x的开邻域,但U中不含，此与矛盾。故当n充分大时。 　　命题3：f为拓扑空间到实数的连续映射，其中，则f为常值映射。 　　证明：假设f不是常值映射，即有实数c,d且和x,y有如下式子，。我们取c,d的邻域u,v使得u,v均为开集且互不相交。因为f为连续映射，所以开集的逆像为开集，记u,v的逆像集为p,q。

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